괴델의 신 존재 증명 과정(장문 주의)

이 그림이 신 존재 증명 과정을 하나로 압축한 거임. 괴델의 신 존재 증명을 이해하기 위해서는 일단 용어와 기호부터 알아야 함. ----------《용어》---------- Ax. : Axiom(공리); 증명없이 옳다고 받아들이기로 한 기본명제 Df. : Definition(정의); 기호에 대한 약속 Th. : Theorem(정리); 공리와 정의로부터 따라나오는 명제 -------------------- 즉, 공리나 정의는 따로 증명하는 게 아니라 증명에 사용되기만 한다고 보면 됨. 이번엔 기호를 알아보자. ----------《기호》---------- ∧: 연언(and) 연산자 (예시) A∧B A고 B다. →: 조건문(if) 연산자 (예시) A→B A면 B다 ↔: 쌍조건문(if and only if) 연산자 (예시) A↔B A면 오직 그럴 때만 B다 ¬: 부정(not) 연산자 (예시) ¬A A가 아니다 ∀: 보편(all) 양화사 (예시) ∀xA(x) 모든 x는 A하다 ∃: 존재(exist) 양화사 (예시) ∃xA(x) 어떤 x는 A하다(혹은 A하는 x가 존재한다) □: 필연(necessary) 양상 연산자 (예시) □A 필연적으로 A하다 ◇: 가능(possible) 양상 연산자 (예시) ◇A A하는 것이 가능하다 (추가적으로) P: 긍정적인(positive) 속성(정확히는 속성의 속성)을 가리킴 ψ: psi(프시), φ: phi(파이) (특정 속성을 나타내는 변수) -------------------- 괴델의 신 존재 증명은 논리학적으로 양상논리 "S5" 체계를 사용한다는데, 이게 뭔 말인지 알려면 일단 양상논리에 대해 알아야 함. ----------《양상 논리》---------- 양상 논리는 쉽게 말해서 기존 논리학에 필연성(□)과 가능성(◇) 개념을 추가한다는 거임. 근데 필연성, 가능성 개념을 정의하려면 "접근 가능성"이라는 개념을 도입해야 함. 접근 가능성이라는 건 가능 세계들 간의 관계를 말하는 건데, 이렇게 w(여기서는 현재라고 생각해도 됨), v, u라는 (가능) 세계가 있다고 치면, w에서 v로는 화살표가 뻗어 있지만 u에는 뻗어 있지 않음. 이때 w(현재)에서 v로 접근 가능하다는 의미로 "wRv"라고 표현함. 마찬가지로 w에서 u로는 접근 불가능하니 아까 부정 연산자를 써서 "¬wRu"라고 표현하겠지. 설명이 좀 길었는데 아무튼 w에서 v로 접근 가능하고, v라는 세계에서 P라는 명제가 성립하면, "현재에서 접근 가능함과 동시에 그 세계에서 P가 성립하는 세계가 존재한다."라는 거임. 그래서 이때를 "P가 가능하다"고 하고 "◇P"로 나타냄. 또한, w에서 접근 가능한 세계가 v밖에 없는데 그 v에서 P가 성립하니 "현재에서 접근 가능한 모든 세계에서 P가 성립"한다는 거고, 이때를 "필연적으로 P다"라고 해서 "□P"로 나타냄. 그리고 ◇P와 □P에는 등가 관계가 존재함. 만약에 ◇P의 부정형인 "¬◇P"가 있다면 그건 "□¬P"와 논리적으로 동치가 됨. 반대로 "¬□P"는 "◇¬P"와 동치임. 이게 왜 그런 건지는 "어떤"을 부정하면 "모든"이 되고, "모든"을 부정하면 "어떤"이 된다는 걸 생각하면 이해할 수 있음. 이제 "S5" 논리 체계를 설명해야 되는데, 일단 양상 논리 체계에는 K도 있고 D도 있고 T고 있고 다양한데, 이런 것들은 접근 가능성(R)의 특성에 기반함. R도 일종의 이항 술어(2-ary predicate)이기 때문에 1. 재귀성(reflexive) 여부 2. 대칭성(symmetric) 여부 3. 이행성(transitive) 여부 에 따라 다 갈림. 하나하나 설명하자면 1. 재귀성: 모든 x에 대해서 A(x,x)가 성립한다는 뜻 (예시) x와 x는 동일하다. 2. 대칭성: 모든 x와 y에 대해서 A(x,y)이면 A(y,x)라는 뜻(반대도 성립) (예시) x는 y의 배우자이다. <-> y는 x의 배우자이다. 3. 이행성: 모든 x,y,z에 대해서 A(x,y)와 A(y,z)가 성립하면 A(x,z)가 성립한다는 뜻 (예시) x는 y보다 빠르다 + y는 z보다 빠르다 -> x는 z보다 빠르다 이렇게 접근 가능성(R)이 재귀성과 대칭성, 이행성을 모두 만족하는 체계가 S5 체계임. 즉, 모든 (가능) 세계 w에 대해서 wRw(재귀성), 모든 세계 w와 v에 대해서 wRv이면 vRw(대칭성), 모든 세계 w,v,u에 대해서 wRv이고 vRu면 wRu(이행성)라는 거. ----------《Th 1 증명하기》---------- 이제 본격적으로, 괴델의 신 존재 증명 과정을 알아보도록 하자. 먼저 두 개의 공리가 주어짐. Ax 1: 임의의 속성 φ, ψ에 대해 φ가 긍정적이고 현재로부터 접근 가능한 모든 세계에서 φ 속성을 가진 모든 것이 ψ 속성을 가진다면, ψ도 긍정적이다. Ax 2: 임의의 속성 φ에 대해, φ의 부정형이 긍정적일 때 오직 그럴 때만 φ가 부정적이다. 이 둘로부터 증명해야 되는 명제가 바로 이거임. Th 1: 임의의 속성 φ에 대해, φ가 긍정적이면 현재로부터 접근 가능하며 φ 속성을 가지는 것이 존재하는 세계가 적어도 하나 존재한다. 앞서 증명하기 전에 증명법 중에 "조건 증명법"과 "귀류법"이라고 하는 게 있는데, 조건 증명법은 P를 가정했을 때 Q가 따라 나온다면 P→Q를 도출하는 증명법이고, 귀류법은 수학 시간에도 배웠겠지만 P를 증명하기 위해서 ¬P를 가정하고 그 가정 안에서 모순되는 명제를 이끌어내서 P를 도출하는 증명법임. 증명은 번호로 나열하는 방식으로 적을 건데, 오른쪽에 해당되는 가능 세계와 "어떤 명제"로부터 "어떤 규칙"으로 도출한 건지 적는 것으로 하자. 모르는 용어가 나올 수도 있지만 그럴 때에는 추가 설명을 할 거임. 그리고 가능 세계의 디폴트값은 w로 하는 것으로 하자. 정의나 공리는 모든 가능 세계에서 적용 가능함. 이제 하나하나 증명해보자. 1. P(φ) (w 세계에서) [조건 증명 가정] 2. ¬◇∃xφ(x) (w 세계에서) [귀류법 가정] 3. ¬□∀x(φ(x)→¬φ(x)) (w 세계에서) [귀류법 가정] (설명) □∀x(φ(x)→¬φ(x))라는 명제를 이끌어 내기 위해서임. 4. ◇¬∀x(φ(x)→¬φ(x)) (w 세계에서) [3, 양상자 변형] 5. wRv 6. ¬∀x(φ(x)→¬φ(x)) (v 세계에서) [4,5, ◇ 제거] (설명) w에서 v로 넘어간 상태임. 추가로 ◇ 제거를 □ 제거보다 먼저 해줘야 증명이 안 꼬임. 7. ∃x¬(φ(x)→¬φ(x)) (v 세계에서) [6, 양화사 변형] 8. ¬(φ(a)→¬φ(a)) (v 세계에서) [7, 존재 예화] (설명) 존재 예화가 뭐냐면, 존재 양화사가 쓰인 명제에서 변수를 상수로 바꿔주는 거임. 대신 기존에 쓰인 상수를 쓰면 안 됨. 그리고 ◇ 제거랑 마찬가지로 존재 예화를 보편 예화보다 먼저 해줘야 함. 9. □¬∃xφ(x) (w 세계에서) [2, 양상자 변형] 10. ¬∃xφ(x) (v 세계에서) [5,9, □ 제거] 11. ∀x¬φ(x) (v 세계에서) [10, 양화사 변형] 12. ¬φ(a) (v 세계에서) [11, 보편 예화] 13. φ(a) (v 세계에서) [조건 증명 가정] (설명) φ(a)→¬φ(a)를 이끌어 내기 위해서임. 14. φ(a) (v 세계에서) [귀류법 가정] 15. φ(a)∧¬φ(a) (v 세계에서) [12,14, 연언 도입] 16. ¬φ(a) (v 세계에서) [14-15, 귀류법] 17. φ(a)→¬φ(a) (v 세계에서) [13-16, 조건 증명] 18. (φ(a)→¬φ(a))∧¬(φ(a)→¬φ(a)) (v 세계에서) [8,17, 연언 도입] 19. □∀x(φ(x)→¬φ(x)) (w 세계에서) [3-18, 귀류법] (설명) 귀류법이 끝나면 다시 원래 세계로 돌아와야 함. 20. P(φ)∧□∀x(φ(x)→¬φ(x)) (w 세계에서) [1,19, 연언 도입] 21. P(¬φ) (w 세계에서) [20,Ax 1, 전건 긍정] 22. ¬P(φ) (w 세계에서) [21,Ax 2, 쌍조건문] 23. P(φ)∧¬P(φ) (w 세계에서) [1,22, 연언 도입] 24. ◇∃xφ(x) (w 세계에서) [2-23, 귀류법] 25. P(φ)→◇∃xφ(x) (w 세계에서) [1-24, 조건 증명] 이런 식으로 증명이 됐음. ----------《Th 2 증명하기》---------- Th 1 다음에는 "신의 정의"와 또다른 공리가 이어짐. Df 1: 신이란 모든 긍정적 속성을 가진 존재이다. Ax 3: 신이라는 속성은 긍정적이다. Th 2: 현재로부터 접근 가능하며, 신이 존재하는 세계가 적어도 하나 존재한다. Th 2 증명하는 건 진짜 엄청 간단함. Th 1이랑 Ax 3로부터 전건 긍정으로 끌어내면 됨. P(G)→◇∃xG(x) P(G) 따라서 ◇∃xG(x) 증명 끝 ----------《Th 3 증명하기》---------- Th 2 다음에는 "본질의 정의"와 또다른 공리가 이어짐. Df 2: 임의의 속성 φ와 개체 x에 대하여, φ가 x의 본질이라는 것은 "x가 φ 속성을 가지며, x가 가진 모든 속성 ψ에 대하여 현재로부터 접근 가능한 모든 세계에서 φ 속성을 가지는 모든 것이 ψ 속성을 가진다."라는 것을 의미한다. Ax 4: 임의의 긍정적 속성 φ에 대해, 현재로부터 접근 가능한 모든 세계에서 φ가 긍정적이다. Th 3: 모든 신은 신이라는 속성을 본질로 갖는다. Th 3를 증명하려면 앞서 제시된 명제들 중에 4개의 명제가 필요함. (증명) 1. G(x) (w) [조건 증명 가정] 2. A(x) (w) [조건 증명 가정] (설명) ∀ψ(ψ(x)→□∀y(G(y)→ψ(y)))를 이끌어 내기 위해서임. 단 기존에 없던 술어(A)를 써야 함. 3. ¬P(A) (w) [귀류법 가정] (설명) P(A)를 이끌어 내기 위해서임. 4. P(¬A) (w) [3,Ax 2, 쌍조건문] 5. ∀φ(P(φ)→φ(x)) (w) [1,Df 1, 쌍조건문] 6. P(¬A)→¬A(x) (w) [5, 보편 예화] 7. ¬A(x) (w) [4,6, 전건 긍정] 8. A(x)∧¬A(x) (w) [2,7, 연언 도입] 9. P(A) (w) [3-8, 귀류법] 10. □P(A) (w) [9,Ax 4, 전건 긍정] 11. ¬□∀y(G(y)→A(y)) (w) [귀류법 가정] 12. ◇¬∀y(G(y)→A(y)) (w) [11, 양상자 변형] 13. wRv 14. ¬∀y(G(y)→A(y)) (v) [12,13, ◇ 제거] 15. ∃y¬(G(y)→A(y)) (v) [14, 양화사 변형] 16. ¬(G(a)→A(a)) (v) [15, 존재 예화] 17. ¬G(a) (v) [귀류법 가정] (설명) G(a)를 이끌어 내기 위해서임. 18. G(a) (v) [조건 증명 가정] (설명) G(a)→A(a)를 이끌어 내서 모순을 끌어 내기 위해서임. 19. ¬A(a) (v) [귀류법 가정] 20. G(a)∧¬G(a) (v) [17,18, 연언 도입] 21. A(a) (v) [19-20, 귀류법] 22. G(a)→A(a) (v) [18-21, 조건 증명] 23. (G(a)→A(a))∧¬(G(a)→A(a)) (v) [16,22, 연언 도입] 24. G(a) (v) [17-23, 귀류법] 25. A(a) (v) [귀류법 가정] (설명) ¬A(a)를 이끌어 내기 위해서임. 26. G(a) (v) [조건 증명 가정] (설명) G(a)→A(a)를 이끌어 내서 모순을 끌어 내기 위해서임. 27. ¬A(a) (v) [귀류법 가정] 28. A(a)∧¬A(a) (v) [25,27, 연언 도입] 29. A(a) (v) [27-28, 귀류법] 30. G(a)→A(a) (v) [26-29, 조건 증명] 31. (G(a)→A(a))∧¬(G(a)→A(a)) (v) [16,30, 연언 도입] 32. ¬A(a) (v) [25-31, 귀류법] 33. ∀φ(P(φ)→φ(a)) (v) [24,Df 1, 쌍조건문] 34. P(A)→A(a) (v) [33, 보편 예화] 35. P(A) (v) [10,13, □ 제거] 36. A(a) (v) [34,35, 전건 긍정] 37. A(a)∧¬A(a) (v) [32,36, 연언 도입] 38. □∀y(G(y)→A(y)) (w) [11-37, 귀류법] 39. A(x)→□∀y(G(y)→A(y)) (w) [2-38, 조건 증명] 40. ∀ψ(ψ(x)→□∀y(G(y)→ψ(y))) (w) [39, 보편 일반화] (설명) 보편 일반화는 상수가 쓰인 명제를 변수로 바꿔주고 보편 양화사로 씌우는 과정임. 단, 전제에 없던 상수만 일반화 가능함. 41. G(x)∧∀ψ(ψ(x)→□∀y(G(y)→ψ(y))) (w) [1,40, 연언 도입] 42. G ess x (w) [41,Df 2, 쌍조건문] 43. G(x)→G ess x (w) [1-42, 조건 증명] 이렇게 증명이 마무리 됐음. ----------《Th 4(마지막) 증명하기》---------- Th 3 다음에도 정의와 공리가 하나씩 추가됨. Df 3: x가 E 속성을 가졌다는 것은 "모든 속성 φ에 대하여, φ가 x의 본질이라면 현재로부터 접근 가능한 모든 세계에서 φ 속성을 가지는 것이 존재한다."라는 것을 의미한다. Ax 5: E 속성은 긍정적이다. Th 4: 현재로부터 접근 가능한 모든 세계에서 신이 존재한다. Th 4를 증명하려면 다섯 명제가 필요하고, 본격적으로 "S5" 체계를 적용해야 함. 즉, 접근가능성의 재귀성, 대칭성, 이행성을 적용해야 한다는 소리 (증명) 1. ∃xG(x) (w) [조건 증명 가정] (설명) ∃xG(x)→□∃xG(x)를 이끌어 내기 위해서임. 2. G(a) (w) [1, 존재 예화] 3. G ess a (w) [2,Th 3, 전건 긍정] 4. ∀φ(P(φ)→φ(a)) (w) [2,Df 1, 쌍조건문] 5. P(E)→E(a) (w) [4, 보편 예화] 6. E(a) (w) [5,Ax 5, 전건 긍정] 7. ∀φ(φ ess a→□∃xφ(x)) (w) [6,Df 3, 쌍조건문] 8. G ess a→□∃xG(x) (w) [7, 보편 예화] 9. □∃xG(x) (w) [3,8, 전건 긍정] 10. ∃xG(x)→□∃xG(x) (w) [1-9, 조건 증명] 11. □(∃xG(x)→□∃xG(x)) (w) [10, □ 도입] (설명) 10번은 정의나 공리, 정리들로만 도출된 정리이기 때문에 그 상태에서 □(필연성)를 적용할 수 있음. 12. ¬□∃xG(x) (w) [귀류법 가정] (설명) 우리가 최종적으로 증명해야 되는 명제임. 13. ◇¬∃xG(x) (w) [12, 양상자 변형] 14. wRv 15. ∃xG(x) (v) [14,Th 2, ◇ 제거] 16. ∃xG(x)→□∃xG(x) (v) [11,14 □ 제거] 17. □∃xG(x) (v) [15,16, 전건 긍정] 18. wRu 19. ¬∃xG(x) (u) [13,18, ◇ 제거] 20. vRw [14, 대칭성] (설명) S5 체계의 규칙이 적용되기 시작함. 21. vRu [18,20, 이행성] 22. ∃xG(x) (u) [17,21, □ 제거] 23. ∃xG(x)∧¬∃xG(x) (u) [19,20, 연언 도입] 24. □∃xG(x) (w) [12-23, 귀류법] -------------------- 이로써 □∃xG(x) "현재로부터 접근 가능한 모든 세계에서 신이 존재한다." "필연적으로 신이 존재한다." 증명 완료했음. 출처: 싱글벙글 지구촌 갤러리 [원본 보기]